Science.tatsel.tu - Молекулярно-кинетическая теория  
  Испарение и
конденсация
Пленочное
кипение
Сверхтекучий
гелий
События и
мероприятия
Библиотека  


Испарение и конденсацияПленочное кипениеСверхтекучий гелийСобытия и мероприятияБиблиотека Больцманиада• Людвиг Больцман. Биографическая справка.• Ученый и учитель• Именные достижения• Философия молекулярно-кинетического подхода• Фундаментальное наследие Л.БольцманаХейке Камерлинг-ОннесКриогениус

Людвиг Больцман: Именные достижения

Закон излучения Стефана-Больцмана

Согласно закону Стефана – Больцмана плотность интегрального полусферического излучения E0 зависит только от температуры и изменяется пропорционально четвертой степени абсолютной температуры T:

(1)

Закон излучения Стефана-Больцмана

Постоянная Стефана-Больцмана

Стефана – Больцмана постоянная σ0 – физическая постоянная, входящая в закон, определяющий объемную плотность равновесного теплового излучения абсолютно черного тела:

(2)

Постоянная Стефана-Больцмана

Исторически закон Стефана-Больцмана был сформулирован раньше закона излучения Планка, из которого он вытекает как следствие. Закон Планка устанавливает зависимость спектральной плотности потока излучения E0 от длины волны λ и температуры T:

(3)

Закон Планка

где λ – длина волны, м; с=2,998 108 м/с – скорость света в вакууме; Т – температура тела, К;
h = 6,625 ×10-34 Дж×с– постоянная Планка.

 

Постоянная Больцмана

Физическая постоянная k, равная отношению универсальной газовой постоянной R=8314Дж/(кг×K) к числу Авогадро NA=6,022×10261/(кг×моль):

(4)

Постоянная Больцмана

Статистика Больцмана

Число различных конфигураций системы из N частиц для данного набора чисел ni (число частиц, находящихся в i-том состоянии, которому соответствует энергия ei) пропорционально величине:

(5)

Статистика Больцмана

Величина W есть число способов распределения N частиц по энергетическим уровням. Если справедливо соотношение (6) то считается, что исходная система подчиняется статистике Больцмана. Набор чисел ni, при котором число W максимально, встречается наиболее часто и соответствует наиболее вероятному распределению.

 

Физическая кинетика – микроскопическая теория процессов в статистически неравновесных системах.

Описание большого числа частиц может успешно осуществляться вероятностными методами. Для одноатомного газа состояние совокупности молекул определяется их координатами и значениями проекций скоростей на соответствующие координатные оси. Математически это описывается функцией распределения, характеризующей вероятность пребывания частицы в данном состоянии:

(6)

Статистика Больцмана

есть ожидаемое число молекул в объеме dd, координаты которых находятся в интервале от до +d, а скорости в интервале от  до +d.

Газ Больцмана

Если осредненной по времени потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией, то газ называется идеальным. Идеальный газ называется газом Больцмана, если отношение длины пробега молекул в этом газе к характерному размеру течения L конечно, т.е.

(7)

Газ Больцмана

т.к. длина пробега обратно пропорциональна nd2(n – числовая плотность 1/м3, d – диаметр молекулы, м).

 

H-функция Больцмана

Величину

(8)

H-функция Больцмана 

называют H-функцией Больцмана для единицы объема, которая связана с вероятностью обнаружения системы из молекул газа в данном состоянии. Каждому состоянию соответствуют определенные числа заполнения шестимерных пространственно-скоростных ячеек, на которые может быть разбито фазовое пространство рассматриваемых молекул. Обозначим W вероятность того, что в первой ячейке рассматриваемого пространства окажется N1 молекул, во второй N2 и т.д.

С точностью до постоянной, определяющей начало отсчета вероятности, правомерно соотношение:

(9)

Вероятности в H-функции Больцмана,

где  – H-функция области пространства А, занятой газом. Из (9) видно, что W и H взаимосвязаны, т.е. изменение вероятности состояния приводит к соответствующей эволюции H функции.

 

H-теорема Больцмана

(10)

H-теорема Больцмана 

 

Принцип Больцмана

Больцмана принцип устанавливает связь между энтропией S физической системы и термодинамической вероятностью W её состояния:

(11)

Принцип Больцмана 

 

Кинетическое уравнение Больцмана

(печатается по изданию: Коган М.Н. Динамика разреженного газа. – М.: Наука, 1967.)

Общий вид КУБ:

(12)

Кинетическое уравнение Больцмана  

где – массовая сила, обусловленная наличием различных полей (гравитационного, электрического, магнитного), действующая на молекулу; J – интеграл столкновений. Именно этот член уравнения Больцмана учитывает столкновения молекул друг с другом и соответствующие изменения скоростей взаимодействующих частиц. Интеграл столкновений представляет собой пятимерный интеграл и имеет следующую структуру:

(13)

Кинетическое уравнение Больцмана. Интеграл столкновений 

Уравнение (12) с интегралом (13) получено для столкновения молекул, при которых не возникает тангенциальных сил, т.е. сталкивающиеся частицы считаются идеально гладкими.

В процессе взаимодействия внутренняя энергия молекул не меняется, т.е. предполагается, что эти молекулы являются идеально упругими. Рассматриваются две группы молекул, имеющих до соударения друг с другом (столкновения) скорости  и  (рис. 1), а после столкновения соответственно скорости  и . Разность скоростей  и  называется относительной скоростью, т.е. . Ясно, что для гладкого упругого столкновения . Функции распределения f1', f', f1 ,f описывают молекулы соответствующих групп после и до столкновений, т.е. ; ; ; .

Столкновение двух молекул

Рис. 1. Столкновение двух молекул.

В (13) входят два параметра, характеризующие расположение сталкивающихся молекул друг относительно друга: b и ε; b – прицельное расстояние, т.е. наименьшее расстояние, на которое сблизились бы молекулы при отсутствии взаимодействия (рис. 2); ε называют угловым параметром столкновений (рис. 3). Интегрирование по b от 0 до ¥ и по от 0 до 2p (два внешних интеграла в (12)) охватывает всю плоскость силового взаимодействия перпендикулярно вектору

Траектория движения молекул

Рис. 2. Траектория движения молекул.

Рассмотрение взаимодействия молекул в цилиндрической системе координат

Рис. 3. Рассмотрение взаимодействия молекул в цилиндрической системе координат: z, b, ε

Кинетическое уравнение Больцмана выведено при следующих допущениях и предположениях.

1. Считается, что происходит в основном столкновения двух молекул, т.е. роль столкновений одновременно трех и большего числа молекул незначительна. Это допущение позволяет использовать для анализа одночастичную функцию распределения, которая выше названа просто функцией распределения. Учет столкновения трех молекул приводит к необходимости использования в исследовании двухчастичной функции распределения. Соответственно анализ существенно усложняется.

2. Предположение о молекулярном хаосе. Оно выражается в том, что вероятности обнаружения частицы 1 в фазовой точке  и частицы 2 в фазовой точке  независимы друг от друга.

3. Равновероятны столкновения молекул с любым прицельным расстоянием, т.е. функция распределения не меняется на диаметре взаимодействия. Необходимо отметить, что анализируемый элемент  должен быть малым, чтобы f в пределах этого элемента не менялась, но в то же время чтобы не была велика относительная флуктуация ~. Потенциалы взаимодействия, используемые при вычислении интеграла столкновений, являются сферически симметричными, т.е. .

Распределение Максвелла-Больцмана

Равновесное состояние газа описывается абсолютным Максвелловским распределением, которое является точным решением кинетического уравнения Больцмана:

(14)

Равновесное состояние газа описывается абсолютным Максвелловским распределением

где m – масса молекулы, кг.

Общее локально-максвелловское распределение иначе называемое распределение Максвелла-Больцмана:

(15)

распределение
Максвелла-Больцмана

в том случае, когда газ движется как целое со скоростью  и переменные n, T зависят от координаты  
и времени t.

 

Формула Больцмана барометрическая

В поле тяготения Земли точное решение уравнения Больцмана показывает:

(16)

Формула Больцмана барометрическая

где n0= плотность у поверхности Земли, 1/м3; g – ускорение силы тяжести, м/с2; h – высота, м. Формула (16) является точным решением кинетического уравнения Больцман либо в безграничном пространстве, либо при наличии границ, не нарушающих этого распределения, при этом температура также должна оставаться постоянной.


Эта страница оформлена Пузиной Ю.Ю. при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований – проект №08-08-00638.


Следующая страница: Философия молекулярно-кинетического подхода


    • Главная   • Больцманиада   • Именные достижения  

  Испарение и конденсация Пленочное кипение Сверхтекучий гелий События и мероприятия
Библиотека Больцманиада Камерлинг-Оннес Криогениус
 
  © Science.Tatsel.ru 2006-2017.
Молекулярно-кинетическая теория. Научные публикации.
Испарение и конденсация. Плёночное кипение. Сверхтекучий гелий.
о проекте
условия использования
обратная связь
карта сайта